Дата публикации:

Переменные действие-угол для многомерных систем


Содержимое статьи:

Введение

Для систем с одной степенью свободы переход к переменным действие-угол является понятной процедурой, однако для систем с многими степенями свободы этот переход несколько сложнее. В данной статье мы рассмотрим, как последовательно вывести переменные действие-угол для многомерных систем.

Алгоритм вывода

Шаг 1: Гамильтонов формализм

  • Перепишем уравнения движения системы в гамильтоновом формализме:
    p_i = ∂H/∂q_i
    
q_i = ∂H/∂p_i
  • H - гамильтониан системы
    Шаг 2: Условия интегрируемости
  • Введем канонические преобразования (q_i, p_i) → (Q_i, P_i):
    q_i = q_i(Q_i, P_i)
    
p_i = p_i(Q_i, P_i)
  • Для системы с n степенями свободы уравнения Гамильтона должны быть интегрируемыми, т.е. должно выполняться n-1 условий интегрируемости:
    {q_i, q_j} = 0
    
{p_i, p_j} = 0
    
{q_i, p_j} = δ_ij

    Шаг 3: Действие-угол переменные

  • Если условия интегрируемости выполняются, то существуют канонические преобразования, приводящие к переменным действие-угол (J_i, φ_i):
    Q_i = Q_i(J_i, φ_i)
    
P_i = P_i(J_i, φ_i)
  • Действия J_i являются величинами, сохраняющимися во времени, а углы φ_i являются циклическими переменными, линейно возрастающими во времени.

    Книги

  • Arnold, V. I. Математические методы классической механики.
  • Abraham, R. H., Marsden, J. E. Основы механики, изд. 2.
  • Gutzwiller, M. C. Хаотическое поведение в классической и квантовой механике.


Бесплатный курс Excel: управление запасами и подбор авто в логистике
Бесплатный курс: "VDSina для начинающих: Сервер за 5 минут: Объясняем простыми словами"
Бесплатный виджет обратной связи для Shopify
Часы во весь экран
Чат с ИИ девушкой
Чатрулетка: чат с интересными людьми
Фототехника для видео
Генератор безопасных паролей
Изучаем искусственный интеллект бесплатно
Как использовать бесплатные ИИ-генераторы видео для создания анимаций 3D-сцен с элементами киберпанк
Как создать пошаговое видео для обучения использованию программы AutoCAD
Как создавать мемы без фотошопа: пошагово
Легковые и внедорожные авто от немецких брендов
Оптимизация маршрутизации GEO сайта
Погода в Ревде во вторник
Популярные детские игрушки 2024
Российская автоиндустрия в цифрах
Системы безопасности IP
Смех в доме
VDSina для новичков: простой подход
Великолепие чая и кофе
Видеочат рулетка: её задачи
Видеочат в режиме реального времени